Математика настолько стала неотъемлемой частью естествознания, что многие даже не задумываются, что вообще-то к сфере естественных наук она не относится. Науки о природе (объединявшиеся древними в понятие «физика») описывают мир, познаваемый нами через органы чувств (зрение, слух, вкус, осязание, обоняние). Сфера же математики – абстрактные умозрительные концепции, существующие исключительно в нашем сознании.
Уже саму возможность существования математики Иммануил Кант считал составляющей частью основного вопроса философии наряду с существованием физики и метафизики. Насколько вправе мы приписывать собственным умозрительным построениям какие-либо связи с реальностью? Насколько вправе мы считать, что окружающая нас реальность каким-либо образом связана с абстрактными идеями нашего сознания? Как сугубо рациональные принципы математики оказались запечатлены в мироздании?
Ученые, заложившие основание науки, не видели в этом проблемы. Для них все было очевидно. Бог – Творец всего сущего. Он разумен, и потому Его законы рациональны. И то, что природные явления связаны между собой четкими и изящными математическими соотношениями, воспринималось как очевидное свидетельство разумного замысла в мироздании.
В этой связи весьма показательными были дебаты на тему «Есть ли Бог?», устроенные в XVIII веке при дворе Екатерины II между великим швейцарским математиком Леонардом Эйлером (1707–1783) и французским философом-просветителем Денни Дидро (1713–1784), который настаивал на своих атеистических убеждениях. Первым выступать выпало Эйлеру. Ученый вышел к доске и молча написал: e^iπ+1=0. Затем провозгласил: «следовательно, Бог есть», и сел на место. На этом диспут и закончился, возражений не последовало.
Чтобы понять суть этого аргумента, стоит вспомнить кое-что из школьного курса математики.
Число e (называемое еще числом Эйлера) – это основание натурального логарифма. Оно иррационально (то есть не может быть представлено простым отношением двух натуральных чисел) и трансцендентно (этот термин означает нечто «потустороннее» – метафизическое, недоступное познанию посредством чувственного опыта). Трансцендентное число в принципе не может быть представлено каким-либо алгебраическим соотношением рациональных чисел.
Число π равно отношению длины окружности к ее диаметру. Оно тоже иррационально (и, как было доказано впоследствии, тоже трансцендентно).
Число i или мнимая единица – это воображаемое число, квадрат которого равен минус одному.
Таким образом, в приведенной формуле два трансцендентных и одно мнимое число оказываются связанными простым и изящным соотношением. Человеческому разуму такое не под силу! Эйлер лишь открыл это соотношение, но составлено он было явно Кем-то, Чей разум намного превышает человеческий.
В ХХ веке математика преподнесла еще большие сюрпризы атеистам. Всегда признавалось, что естественные науки, ввиду своей индуктивной природы (рассуждение от частного – к общему) не могут достичь полного знания о действительности. Говоря словами апостола, «мы отчасти знаем» (1 Коринфянам 13:9). Но при этом считалось, что математические знания свободны от подобных ограничений, поскольку основаны на дедуктивных построениях (от общего – к частному). Мечтой математиков было создание так называемой метаматематики – единой системы формул, описывающих все сущее.
Эта идея рухнула в 1931 году, когда австрийский математик Курт Гёдель (1906–1978) доказал теорему, согласно которой для всякой формальной математической системы существует выражение, которое этой системе не принадлежит. То есть наше знание никогда не будет полным – всегда будет оставаться что-то за его пределами. Рациональное описание действительности ограничено.
Спустя несколько лет польский математик Альфред Тарский (1901–1983) доказал, что само понятие истинности логически невыразимо. На этом основании было показано, что все математические выражения могут быть разбиты на бесконечное число классов сложности. Причем, множество выводимых формул целиком содержится в самом нижнем, нулевом классе, а множество истинных формул превосходит все эти классы. Наше знание – лишь бледная тень Божьего замысла, о чем, собственно и сказано в Писании: «Мои мысли – не ваши мысли, ни ваши пути – пути Мои, говорит Господь. Но как небо выше земли, так пути Мои выше путей ваших, и мысли Мои выше мыслей ваших» (Исаия 55:8-9).
Апофеозом стало доказательство в конце 1970-х годов теоремы Париса – Харрингтона, из которой следует, что даже самые элементарные математические истины невозможно установить, не прибегая к понятию актуальной (то есть реальной, абсолютной) бесконечности. Что это значит? В реальном мире мы имеем дело лишь с потенциальной бесконечностью – последовательностью элементов, которую можно наращивать бесконечно, но в каждый конкретный момент число элементов все равно будет оставаться конечным. Актуальная бесконечность – это бесконечность, существующая сразу всеми своими элементами. Ее невозможно смоделировать. Это – понятие исключительно умозрительное, трансцендентное («не от мира сего»).
Оказывается, что невозможно сформулировать ни одного «естественного» (то есть допустимого в реальном мире) математического понятия или соотношения, не прибегая к представлению о сверхъестественном. Мы, используя собственный ограниченный разум, можем описывать наше ограниченное мироздание посредством математических формул исключительно потому, что они основаны на безграничных представлениях безграничного Разума, бесконечно превосходящих все, доступное нашему постижению!
Как сказал один из основоположников квантовой механики и квантовой теории поля, нобелевский лауреат Поль Дирак (1902–1984): «Самым фундаментальным свойством природы представляется то, что основные физические законы описываются математическими теориями величайшей красоты и силы, требующими математического знания высочайшего уровня. Бог – великий математик, и в сотворении вселенной Он использовал математику высочайшего уровня. Наши математические потуги позволяют нам понять только частичку мироздания».